はしりがき

二項重複、三項重複と進んできた流れを一般化して「n項重複」を考えよう。基本的な要素は「二項重複」「三項重複」で説明してあるから「具体的な数」を「変数」に書き換えるだけでよい。
まずはn項重複の基本的な構成について説明しよう。
第1ブロック、第2ブロック、……、第nブロックがあるとして、この中の1つの任意のブロックを指すとき、それを第δブロックと呼ぶことにする。そして第δブロックで埋め込むべきカードを総称してset(tarδ)と書く。
そしてそれらによって構成される素集合系が、その重複の度合い——「重複度」によって分類され、以下の表のようになる。

重複度	素集合系	個数
1	tar1,tar2,…,tarρ,…,tarn	nC1
2	tar1∧2,tar1∧3,…,tar1∧n,tar2∧3,…,tar(n-1)∧n	nC2
…	…	…
ρ	tar1∧2∧…∧ρ,tar2∧3∧…∧(ρ+1),…,tar(n-ρ+1)∧(n-ρ+2)∧…∧n	nCρ
…	…	…
n	tar1∧2∧…∧n	nCn

重複度ρに属する素集合系のうち任意の1つの素集合を取り出す際には、ρ個のブロックを選んでその両端をζ、ηと名付ける(といってもζからηまでは連番とは限らない)、という意味で(ζ...η)(ρ=ρ)と書き、その中で特にset(tarδ)に属しているものの中から任意の1つの素集合を取り出す際には(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))と書くことにする(見慣れないギリシャ文字はそれぞれζ(ツェータ)、η(イータ)、δ(デルタ)、ρ(ロー)と読む)。
これらの素集合の埋め込み枚数を問題にする際には先頭にjを付してj(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))と書く。任意の重複度、任意のブロックに属する素集合の埋め込み枚数はこれで記述できるわけだが、便宜上「ある規則で単位ブロックを並べた際の、直前の単位ブロックの埋め込み枚数」が必要になるため、これをjpre(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))と書くことにする。

n個のブロックによって構成されるブロック積を記述しよう。その際に2つほど注意を。n項重複においてはnの数に応じて単位ブロックの数が変わってくるので「一般形を記述しておいて範囲を指定する」という手法をとりたい。
たとえば第一ブロック内の重複度2の素集合系を記述する際には

Min[N(tar1∧2), i1-j10] ∑i1-j10Cj12*《N(tar1∧2), j12》* j12=0 ……* Min[N((ζ...η)(ρ=2,set(tar1))), i1-j10-j12-...-jpre(ζ...η)(ρ=2,set(tar1))] ∑i1-j10-j12-...-j(ζ...η)(ρ=2,set(tar1))Cj(ζ...η)(ρ=2,set(tar1))*《N((ζ...η)(ρ=2,set(tar1))), j(ζ...η)(ρ=2,set(tar1))》* j(ζ...η)(ρ=2,set(tar1))=0 ……* Min[N(tar1∧n), i1-j10-j12-...-j(ζ...η)(ρ=2,set(tar1))-...-j1(n-1)] ∑i1-j10-j12-j(ζ...η)(ρ=2,set(tar1))-...-j1(n-1)Cj1n*《N(tar1∧n), j1n》* j1n=0

と本来書くべきところを、

Min[N((ζ...η)(ρ=2,set(tar1))), i1-j10-j12-...-jpre(ζ...η)(ρ=2,set(tar1))] ∑i1-j10-j12-...-j(ζ...η)(ρ=2,set(tar1))Cj(ζ...η)(ρ=2,set(tar1))*《N((ζ...η)(ρ=2,set(tar1))), j(ζ...η)(ρ=2,set(tar1))》* j(ζ...η)(ρ=2,set(tar1))=0

1≤ζ...η≤n ∑(ζ...η)=2

のように書くことにする。右側は「ζからηまでの各要素は1からnまでの間に収まる」「ζからηまでの個数すなわち重複度は2である」の意味。その範囲でとりうるすべての値の積の表現である。
また、第δブロックの単位ブロックによって埋め込まれるカードのうちset(tarδ)を含むようなものの枚数を∑jset(tarδ)と書くことにする。特に第δ'ブロックで埋め込まれたもののうちset(tarδ)を含むようなものの枚数を∑jδ'set(tarδ)と書く。さらに第δブロックへの影響は第1ブロック〜第δ-1ブロックの総和になるから、これを直前の記号「∑jδ'set(tarδ)」を用いて「∑∑j(1...δ-1)set(tarδ)」と書くことにする。
以上の約束に従ってn項重複を記述すると、

Min[μ-(n-1), N(set(tar1))] ∑      μCi1* i1=1	第1ブロックの 接続
Min[N(tar1), i1] ∑i1Cj10*《N(tar1), j10》* j10=0
Min[N((ζ...η)(ρ=2,set(tar1))), i1-j10-j12-...-jpre(ζ...η)(ρ=2,set(tar1))] ∑i1-j10-j12-...-j(ζ...η)(ρ=2,set(tar1))Cj(ζ...η)(ρ=2,set(tar1))*《N((ζ...η)(ρ=2,set(tar1))), j(ζ...η)(ρ=2,set(tar1))》* j(ζ...η)(ρ=2,set(tar1))=0	1≤ζ...η≤n ∑(ζ...η)=2
……	……
Min[N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tar1))), i1-j10-j12...-j1n...-jpre(ζ...η)(ρ=ρ,set(tar1))] ∑i1-j10-j12-...-j1n-...-jpre(ζ...η)(ρ=ρ,set(tar1))Cj(ζ...η)(ρ=ρ,set(tar1))*《N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tar1))), j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tar1))》* j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tar1))=0	1≤ζ...η≤n ∑(ζ...η)=ρ
……	……
Min[N((ζ...η)(ρ=n,set(tar1))), i1-j10-j12...-j1n...-jpre(ζ...η)(ρ=n,set(tar1))] ∑i1-j10-j12-...-j1n-...-jpre(ζ...η)(ρ=n,set(tar1))Cj(ζ...η)(ρ=n,set(tar1))*《N((ζ...η)(ρ=n,set(tar1))), j(ζ...η)(ρ=n,set(tar1))》 j(ζ...η)(ρ=n,set(tar1))=0	1≤ζ...η≤n ∑(ζ...η)=n
∑i2=1Min[μ-i1-(n-2), N(set(tar2))-∑j1set(tar2)]μ-i1Ci2*	第2ブロックの 接続
Min[N(tar2), i2] ∑i2Cj20*《N(tar2), j20》* j20=0
Min[N((ζ...η)(ρ=2,set(tar2))), i2-j20-j21-...-jpre(ζ...η)(ρ=2,set(tar2))] ∑i2-j20-j21-...-j(ζ...η)(ρ=2,set(tar2))Cj(ζ...η)(ρ=2,set(tar2))*《N((ζ...η)(ρ=2,set(tar2))), j(ζ...η)(ρ=2,set(tar2))》* j(ζ...η)(ρ=2,set(tar2))=0	1≤ζ...η≤n ∑(ζ...η)=2
……
Min[N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tar2))), i2-j20-j21...-j2n...-jpre(ζ...η)(ρ=ρ,set(tar2))] ∑i2-j20-j21-...-j2n-...-jpre(ζ...η)(ρ=ρ,set(tar2))Cj(ζ...η)(ρ=ρ,set(tar2))*《N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tar2))), j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tar2))》* j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tar2))=0	1≤ζ...η≤n ∑(ζ...η)=ρ
……
Min[N((ζ...η)(ρ=n,set(tar2))), i2-j20-j21...-j2n...-jpre(ζ...η)(ρ=n,set(tar2))] ∑i2-j20-j22-...-j2n-...-jpre(ζ...η)(ρ=n,set(tar2))Cj(ζ...η)(ρ=n,set(tar2))*《N((ζ...η)(ρ=n,set(tar2))), j(ζ...η)(ρ=n,set(tar2))》 j(ζ...η)(ρ=n,set(tar2))=0	1≤ζ...η≤n ∑(ζ...η)=n
……
∑iδ=1Min[μ-i1-i2...-i(δ-1), N(set(tarδ))-∑∑j(1...δ-1)set(tarδ)]μ-i1-i2...-i(δ-1)Ciδ*	第δブロックの 接続
Min[N(tarδ), iδ] ∑iδCjδ0*《N(tarδ), jδ0》* jδ0=0
Min[N((ζ...η)(ρ=2,set(tarδ))), iδ-jδ0-jδ1-...-jpre(ζ...η)(ρ=2,set(tarδ))] ∑iδ-jδ0-jδ1-...-j(ζ...η)(ρ=2,set(tarδ))Cj(ζ...η)(ρ=2,set(tarδ))*《N((ζ...η)(ρ=2,set(tarδ))), j(ζ...η)(ρ=2,set(tarδ))》* j(ζ...η)(ρ=2,set(tarδ))=0	1≤ζ...η≤n ∑(ζ...η)=2
……
Min[N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))), iδ-jδ0-jδ1-...-jpre(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))] ∑iδ-jδ0-jδ1-...-j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))Cj(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))*《N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))), j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))》* j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))=0	1≤ζ...η≤n ∑(ζ...η)=ρ
……
Min[N((ζ...η)(ρ=n,set(tarδ))), iδ-jδ0-jδ1-...-jpre(ζ...η)(ρ=n,set(tarδ))] ∑iδ-jδ0-jδ1-...-j(ζ...η)(ρ=n,set(tarδ))Cj(ζ...η)(ρ=n,set(tarδ))*《N((ζ...η)(ρ=n,set(tarδ))), j(ζ...η)(ρ=n,set(tarδ))》* j(ζ...η)(ρ=n,set(tarδ))=0	1≤ζ...η≤n ∑(ζ...η)=n
……
∑in=1Min[μ-i1-i2...-i(n-1), N(set(tarn))-∑∑j(1...n-1)set(tarn)]μ-i1-i2...-i(n-1)Cin*	第nブロックの 接続
Min[N(tarn), in] ∑inCjn0*《N(tarn), jn0》* jn0=0
Min[N((ζ...η)(ρ=2,set(tarn))), in-jn0-jn1-...-jpre(ζ...η)(ρ=2,set(tarn))] ∑in-jn0-jn1-...-j(ζ...η)(ρ=2,set(tarn))Cj(ζ...η)(ρ=2,set(tarn))*《N((ζ...η)(ρ=2,set(tarn))), j(ζ...η)(ρ=2,set(tarn))》* j(ζ...η)(ρ=2,set(tarn))=0	1≤ζ...η≤n ∑(ζ...η)=2
……
Min[N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tarn))), in-jn0-jn1-...-jpre(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarn))] ∑in-jn0-jn1-...-j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarn))Cj(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarn))*《N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tarn))), j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarn))》* j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarn))=0	1≤ζ...η≤n ∑(ζ...η)=ρ
……
Min[N((ζ...η)(ρ=n,set(tarn))), in-jn0-jn1-...-jpre(ζ...η)(ρ=n,set(tarn))] ∑in-jn0-jn1-...-j(ζ...η)(ρ=n,set(tarn))Cj(ζ...η)(ρ=n,set(tarn))*《N((ζ...η)(ρ=n,set(tarn))), j(ζ...η)(ρ=n,set(tarn))》* j(ζ...η)(ρ=n,set(tarn))=0	1≤ζ...η≤n ∑(ζ...η)=n

さらに∑(ζ...η)=1から∑(ζ...η)=nまでをたたんで1≤∑(ζ...η)=ρ≤nと書くと

Min[μ-(n-1), N(set(tar1))] ∑      μCi1* i1=1	第1ブロックの 接続
Min[N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tar1))), i1-j10-j12...-j1n...-jpre(ζ...η)(ρ=ρ,set(tar1))] ∑i1-j10-j12-...-j1n-...-jpre(ζ...η)(ρ=ρ,set(tar1))Cj(ζ...η)(ρ=ρ,set(tar1))*《N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tar1))), j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tar1))》*n-1Cρ-1 j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tar1))=0	1≤ζ...η≤n 1≤∑(ζ...η)=ρ≤n
……
∑iδ=1Min[μ-i1-i2...-i(δ-1), N(set(tarδ))-∑∑j(1...δ-1)set(tarδ)]μ-i1-i2...-i(δ-1)Ciδ*	第δブロックの 接続
Min[N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))), iδ-jδ0-jδ1-...-jpre(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))] ∑iδ-jδ0-jδ1-...-j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))Cj(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))*《N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))), j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))》* j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))=0	1≤ζ...η≤n 1≤∑(ζ...η)=ρ≤n
……
∑in=1Min[μ-i1-i2...-i(n-1), N(set(tarn))-∑∑j(1...n-1)set(tarn)]μ-i1-i2...-i(n-1)Cin*	第nブロックの 接続
Min[N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tarn))), in-jn0-jn1-...-jpre(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarn))] ∑in-jn0-jn1-...-j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarn))Cj(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarn))*《N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tarn))), j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarn))》* j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarn))=0	1≤ζ...η≤n 1≤∑(ζ...η)=ρ≤n

さらに第1ブロックから第nブロックまでをたたんで1≤δ≤nと書くと

∑iδ=1Min[μ-i1-i2...-i(δ-1), N(set(tarδ))-∑∑j(1...δ-1)set(tarδ)]μ-i1-i2...-i(δ-1)Ciδ*	第δブロックの接続
Min[N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))), iδ-jδ0-jδ1-...-jpre(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))] ∑iδ-jδ0-jδ1-...-j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))Cj(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))*《N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))), j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))》* j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))=0	1≤δ≤n 1≤ζ...η≤n 1≤∑(ζ...η)=ρ≤n

と記述できる。

重複分を除する係数についての考察に入ろう。第1ブロック〜第nブロックの中から任意にρ個のブロックを選んだものを第sブロック〜第tブロックと書くと(必ずしも連番でない)、これらに対応するπ個の「tars∧...∧t」が埋め込まれたとき、その1つ1つについて第sブロック〜第tブロックの中第何ブロックの担当になるかというパターンがρ通りある。
このとき、第sブロック〜第tブロックの中の任意の1つのブロックを第xブロックと書くと、第xブロックのカード（つまりset(tarx)）でありtars∧…∧tではないカード、
set(tars)-tars∧...∧t
……
set(tarx)-tars∧...∧t
……
set(tart)-tars∧...∧t
(これが全部でρ個ある)
のうち、埋め込み枚数が0になるものの数を欠乏数ω（オメガ）と書くことにすると、重複分を除する係数Kは

K = 1/ρπ-ω

と書ける。これが重複度ρについて_nC_ρ個存在し、ρが1からnまで動くから、π[(ζ...η)(ρ=ρ)]を任意の重複度ρの素集合の埋め込み枚数とすると、前と同様に「ζからηまでの各要素が1からnまで動く」「その個数すなわち重複度ρが1からnまで動く」ときの各係数の総積の範囲表現は

K = 1/ρ[π(ζ...η)(ρ=ρ)])-ω

1≤(ζ...η)≤n 1≤∑(ζ...η)=ρ≤n

となる。最後にすべてまとめると、n項重複の一般形は以下のように記述される。

∑iδ=1Min[μ-i1-i2...-i(δ-1), N(set(tarδ))-∑∑j(1...δ-1)set(tarδ)]μ-i1-i2...-i(δ-1)Ciδ*	第δブロックの接続
Min[N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))), iδ-jδ0-jδ1-...-jpre(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))] ∑iδ-jδ0-jδ1-...-j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))Cj(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))*《N((ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))), j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))》*K j(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))=0	1≤δ≤n 1≤ζ...η≤n 1≤∑(ζ...η)=ρ≤n
K = 1/ρ[π(ζ...η)(ρ=ρ)])-ω	1≤(ζ...η)≤n 1≤∑(ζ...η)=ρ≤n

ただし、記号の意味は次の通り。

μ	全領域
δ	1≤δ≤nの任意の整数
set(tarδ)	第δブロックで埋め込むべき素集合の総和
∑∑j(1...δ-1)set(tarδ)	第1ブロック〜第δ-1ブロックにおける、set(tarδ)の減少枚数の総和
(ζ...η)(ρ=ρ,set(tarδ))	重複度ρに属する素集合系のうちset(tarδ)に属している任意の1つの素集合
N()	()の中に入っている種類のカードのデッキ内初期枚数(最初何枚デッキに入っていたか)
ρ	重複度
ω	欠乏数
π[]	[]の中に入っている種類のカードの埋め込み枚数

第一稿
これ推敲するのめんどいよう