はしりがき

■同種のカードを区別したとき、デッキ内の40枚のカードの順序のパターン(40!通り)の各々の生起確率は同様に確からしいとする

重複部分を持たないカードA、カードBの枚数をそれぞれa,bとする。このとき山札上からランダムにn枚引いた時、a,bをそれぞれi,j枚引き当てる確率P(A,B)は次のようになる。

(要拡大)

40Cnが組み合わせの総数。AについてaCi通り、BについてbCj通りのパターンがあり、残るn-(i+j)枚のスペースに入るカードが40-(a+b)枚の中から選ばれる。

これに対してi=1からi=aまで、j=1からj=bまでの総和をとれば、A,Bをそれぞれ1枚以上引き当てる確率が求まる。ちなみに、i=1をi=2のように書き換えれば2枚以上引き当てる確率も求まる。

こんなかんじ

ただしi+j>nとなる場合はP(A,B)=0とする。
ここまでカードが二種類の場合の話だったが、より一般化してカードA1、カードA2...カードAnの枚数をそれぞれa1,a2,...,anとすると次のようになる。

ただし

最初の式の拡張。

ここで新たな条件を付け加えてみよう。A1...Anに加え、「カードBを1枚も引かない」ことにすると

前式から、分子の最後のCの左右に-bが加わっている。これがカードBを1枚も引かない条件となる。 追記 一番右のnCrのrのところにあるbはいらない

となる。同様に総和をとればおk。ここまでの内容を次章から使い倒すので、今の確率をP()と書くことにしてこの章を終わる。