ガラパゴスへよおこそ。
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「わかりやすく〈伝える〉技術」池上彰著、講談社現代新書
「相手に〈伝わる〉話し方─ぼくはこんなことを考えながら話してきた」池上彰著、講談社現代新書
の影響を受けたらしい。「接続詞は使うな！」
トーナメントを数学的に分析しよう。
ニシハラ氏のブログ(知らないなんて言わせない)によれば、ある大会の予選突破者は302名。そのうち81名、27%がキリコだったようだ。
302人トーナメントの計算は面倒。256人トーナメントに圧縮して考えるのが便利だ。256人の27%=69人がキリコ、残りがその他のデッキだということになる。
さて、キリコが優勝する確率はいくらか。多様なデッキを「キリコ」「その他」にざっくり二分して、それらの勝率を次のように仮定する。
| 勝＼負 | キリコ | その他 |
| キリコ | 1/2 | 2/3 |
| その他 | 1/3 | 1/2 |
| キリコ | その他 | |
| キリコ | a(a-1)/(256*255) | ab/(256*255) |
| その他 | ba/(256*255) | b(b-1)/(256*255) |
| 何回戦？ | 人数 | 0.26953125 | 0.73046875 |
| 1 | 256 | 0.335416667 | 0.664583333 |
| 2 | 128 | 0.410305847 | 0.589694153 |
| 3 | 64 | 0.492237685 | 0.507762315 |
| 4 | 32 | 0.578238458 | 0.421761542 |
| 5 | 16 | 0.6649509 | 0.3350491 |
| 6 | 8 | 0.749823739 | 0.250176261 |
| 7 | 4 | 0.833196227 | 0.166803773 |
| 8 | 2 | 0.925849743 | 0.074150257 |
| 何回戦？ | 人数 | 27% | 73% |
| 1 | 256 | 34% | 66% |
| 2 | 128 | 41% | 59% |
| 3 | 64 | 49% | 51% |
| 4 | 32 | 58% | 42% |
| 5 | 16 | 66% | 34% |
| 6 | 8 | 75% | 25% |
| 7 | 4 | 83% | 17% |
| 8 | 2 | 93% | 7% |
| 勝＼負 | キリコ | その他 |
| キリコ | 1/2 | 3/5 |
| その他 | 2/5 | 1/2 |
| 何回戦？ | 人数 | 27% | 73% |
| 1 | 256 | 31% | 69% |
| 2 | 128 | 35% | 65% |
| 3 | 64 | 40% | 60% |
| 4 | 32 | 45% | 55% |
| 5 | 16 | 50% | 50% |
| 6 | 8 | 56% | 44% |
| 7 | 4 | 62% | 38% |
| 8 | 2 | 72% | 28% |
| 何回戦？ | 人数 | 勝率67%(A)の勝上率 | 勝率60%(B)の勝上率 | 差(A-B) | 比(A/B) |
| 1 | 256 | 34% | 31% | 3% | 1.10 |
| 2 | 128 | 41% | 35% | 6% | 1.17 |
| 3 | 64 | 49% | 40% | 9% | 1.23 |
| 4 | 32 | 58% | 45% | 13% | 1.29 |
| 5 | 16 | 66% | 50% | 16% | 1.32 |
| 6 | 8 | 75% | 56% | 19% | 1.34 |
| 7 | 4 | 83% | 62% | 21% | 1.34 |
| 8 | 2 | 93% | 72% | 21% | 1.29 |
こんな本読んだ。
「経済ってそういうことだったのか会議」佐藤雅彦、竹中平蔵著
「創造はシステムである─「失敗学」から「創造学」へ」中尾政之著
前者は「前方連環」と「後方連環」の話が、後者は「モジュラー」と「インテグレイテッド」の話が面白かった。で、これ、デッキ構築にも繋がってくる話だな、と思った。言葉の意味は
「前方連環」と「後方連環」：ttp://rockymuku.sakura.ne.jp/tiikiiryounituitekanngaeru/kaihatukeizaigakutotiikiiryou.pdf (PDF注意)
「モジュラー」と「インテグレイテッド」：本を読むのが一番良いが、「独立した要素に分解して作成」と「機能統合」でだいたいOK(Amazonのカスタマーレビューから拝借した言葉)
を参照(どちらも他の方のものです)。
◇
デッキ構築ではコンセプトを決めろとよく言われるが、なんでそんなもの決めなきゃいけないの？という疑問も少なからずあると思う。「前方連環」「後方連環」という概念はそんな疑問にこう答える：「需要は供給の母」ですよ、と。
どんなエンジンが必要なのか、どんな部分が不足しているのか、等々がコンセプトを決めるだけで一気に見えてくるんだよね。コンセプトがあれば「中心的な役割のカード」が必ず存在するわけだけど、例えばマナコストが高かったり、特定の相手には効かなかったりする。ならばその「不足要素」を補うような「相性の良いカード」の構成を作ればいいではないか、と考える。「相性の良いカード」だけで攻撃防御安定性爆発力がすべて完璧な構成ができるわけではないから、そうして作られた「中心的な役割のカード」と「相性の良いカード」群には必然的に新たな「不足要素」を持つことになる。そしてその穴を埋めるように【「相性の良いカード」群】と相性の良いカードを投入していく……あら40枚になっちゃいました。
このように、コンセプトを決めること自体に「羅針盤」としての意味がある。そこを肌で感じている人が多いから「コンセプトを決めるべきだ」というのが定説になるわけだ。
具体例として《パーフェクト・ギャラクシー》デッキを再構成してみよう。《パーフェクト・ギャラクシー》《オルゼキア》《インフェルノ・サイン》《母なる紋章》を核にすれば「相性の良いカード」として「7マナか6マナくらいのクリーチャー、特にcip」「自爆効果を持つカード」「レインボーカード、特に白黒」、「不足要素」として「対大量展開」「ハンデス」「対速攻」を書き出すことができ(他にもあるかもしんないけど)、それを満たす《ベガ》《キング・アルカディアス》《ハンゾウ》あたりを入れ込んで形にしたのが《パーフェクト・ギャラクシー》デッキというわけだ。《ロマノフ》《グールジェネレイド》を使ったデッキもそれ。「相性の良いカード」としての「ドラゴン」「墓地利用」、「不足要素」としての「防御面」から《ヘヴィ》《メタル》《ロマネスク》《インフェルノ・サイン》等々が集まってくるのでそれをうまく組み合わせれば良い(それが難しいんじゃないかと言われればそれまでだが、「コンセプトの要求する要素の性質」が着想の起点になっているというのがここでの主張)。
以上は構築技術の話だが、コンセプトを決めることが完成品の強さを落とすなどといったことはない。よく「グッドスタッフ(強いカードの詰め合わせ)」の跋扈を例に挙げてシナジーやコンセプトの重要性を疑う人がいるが、「シナジーを持たないグッドスタッフ」などというものは「存在しない」。「強いパーツ」と「強固なシナジー」のうち前者だけが目立ってしまうが、「強固なシナジー」に裏打ちされているからこそ「強いパーツ」が強く見えるのだ。上で挙げたように《パーフェクト・ギャラクシー》や《ロマノフ》＆《グールジェネレイド》が「コンセプトを決める→その需要に沿って相性の良いカードを集める」という流れで再構成できることが強固なシナジーの存在を証明している。
つまり、「コンセプトを決めることは強いデッキを作るという目的に反発しない」。それどころかどう構築すればいいかを明確に示してくれるから、コンセプトの決定はすべてに優先して行われるべきなのだ。
◇
「モジュラー」「インテグレイテッド」のほう。冒頭で「独立した要素に分解して作成」「機能統合」と、とりあえず借り物の言葉で表現したが、カードゲームの例でもう少し詳述する。デッキのパラメータとして「攻撃」「防御」「安定性」「爆発力」があるとしよう。これが「攻撃」の値を高めるカード、これが「防御」の値を高めるカード、……と「どのカードがどのパラメータを上昇させるかを独立に決めて目標値を達成する」のが「モジュラー」。それに対して、これは「攻撃と安定性を高めるカード」、これは「防御と安定性を高め、攻撃にも若干寄与するカード、先のカードとの相性も良い」、……と「複数のパラメータへの寄与や相乗効果を含めて全体として目標値を達成する」のが「インテグレイテッド」。換言すれば、要素どうしの干渉をノイズと見てできるだけ排除するのが「モジュラー」、逆にそれらを相乗効果とみてできるだけ活用するのが「インテグレイテッド」というわけだ。
どちらが良いというのは一般には言えないけども、ことデッキ構築に関して言えば「インテグレイテッド」のほうでなされるべきなんだよな。デッキのパラメータとして「攻撃」「防御」「安定性」「爆発力」を挙げたけど、手札を「手札枚数分のデッキ」と考えれば、手札にも「攻撃」「防御」「安定性」「爆発力」というパラメータがあることが分かる。読者自身の経験を顧みて欲しいのだが、速攻デッキのような特例を除けば、「攻撃」のパラメータだけが高くて他は低い、というような偏ったパラメータの手札は基本的に望ましくない(例えば《クリスタル・アックス》ばかりを引き当ててドローカードが来ないというような状況)。しがたって「各パラメータについて目標値があって、その達成度を足したもの」が評価尺度として取り出せる(「達成度」だから目標値超過分は切り捨てられる)。
ここでデッキがすべて初手になるというようなゲームなら「モジュラー」でもまあいいんだけど、デッキ40枚の中からランダムに5枚を初手にして1ターン1枚を引く、というようなゲームは「すべてのカードを使えるわけではない」が「すべての目標値を達成しなければならない」から、「40枚のうちどの5枚を取ってきてもすべての目標値を達成できる」というのが目指すべきところになる。ここで単純な例を考えてみてほしいのだが、「攻撃」「安定性」の目標値がそれぞれ2,2だとして、デッキAを【「攻撃」だけを+2するカード、「安定性」だけを+2するカードが各2枚、計4枚】、デッキBを【「攻撃」と「安定性」を+1するカードが4枚】だとしよう。カードを2枚引くとき、目標値を達成しやすいのはどちらか？
明らかにBである。デッキ全体の「攻撃」「安定性」の総和をとって枚数で割れば(つまり期待値をとれば)A,Bは同じものに見えるが、とんでもない。理想的なカードの「引き」とは、「攻撃」「防御」「安定性」「爆発力」が望ましい比になっていることで、どれか特定のパラメータだけが突き抜けていてはいけない。「攻撃だけを高めるカード」ばかりがくるパターンと「防御だけを高めるカード」ばかりがくるパターンと「安定性だけを高めるカード」ばかりがくるパターンと「爆発力だけを高めるカード」ばかりがくるパターンの和が「これらがバランスよくくるパターン」×4に勝っている訳が無い。期待値は便利な概念だが、取り扱いには非常に慎重にならなければならないのだ。
御察しの通り、「モジュラー」的な構築が前者、「インテグレイテッド」的な構築が後者に対応する。「デッキ構築は「インテグレイテッド」でなされるべき」と言ったのはそういうことだ。
しかし、人間の思考は「インテグレイテッド」なものを容易には把握できない(そういうことができる、いわゆる天才も時々いるけど)。非常に複雑な関係をすべて網羅して総合的に吟味してどうこう、というようなことは1つのデッキにかなり精通しなければ不可能だ。その「1つのデッキに精通した人」は確かにいるのだが、その人の「インテグレイテッド」な知識を「インテグレイテッド」なまま他人に伝達することはほとんど不可能のように思える。というのは、構築論争やデッキ解説ではどうしても「モジュラー」的な解釈が優勢になるからだ。「強いハンデスが足りないけど、安定性、アタッカーになる、母なる紋章との相性も良い、という事情があるからハンデス性能自体は微妙だけど《トリプルマウス》に落ち着きました。ハンデス力不足は他の部分(安定性、アタッカー量、母なる紋章との相性)で補って全体として良い形になっているはずです」より「強いハンデスが足りないので《ロスト・ソウル》を積みました」のほうが通りが良い。そういう「インテグレイテッド」と「モジュラー」の乖離は経験豊富なプレイヤーなら誰でも知っていることなのだが、いざ言葉にしようとすると、とたんに形は失われる。そこで、もともと「インテグレイテッド」なものを「モジュラー」な解釈で再構成するという作業が求められる。そこで複雑な関係の中からいかに比重の大きいカードあるいはカード同士の関係(＝シナジー)を取り出してこれるかが、先に言ったような構築論争やデッキ解説では問われてくる。
「構築論争」や「デッキ解説」という関係ない話が出てきたように思われるかもしれないが、デッキ構築は「自分自身との構築論争」「自分自身へのデッキ解説」に他ならない。それだからデッキ構築は、「モジュラー」的なものしか理解できない主体が「インテグレイテッド」なものを作ろうとするにはどうすればよいかという問題に還元される。そこで私が実践している方法をひとつ紹介したい。
◇
まずデッキのコンセプトとなるカードの組(3〜4種類)を決める。できれば3種類。2種類では発展性に欠けるし、4,5種類はシナジーが疎になりやすい。これを「核」と呼ぼう。核を見て、核がどういうふうな「型」を要求しているかを見定める。「型」はデッキの「典型的なパターン」と言ってもいい。速攻かコントロールか、ビートダウンか、はたまたコンボデッキか、ビートダウンなら進化クリーチャーのパワーで押し切るのか小さなクリーチャーを並べるのかそれらを組み合わせるのか、くらいのところまでイメージする。これがデッキの枠組みとなる。
まず「核」の3つを紙の中央に書き、互いに線で結ぶ。すると三角形ができる。この3つすべて──は現実的でないから、核のうち2つくらいと相性の良いカードを1つ探し出す。それを核のまわりに置く。そのカードと、それと相性の良いカードとを線で結ぶ。
次に核に先程のカードをあわせた4種類のカードに対してできるだけ多くの線が引けるようなカード1つを探す。それを核のまわりに置く。そのカードと、それと相性の良いカードとを線で結ぶ。「もしデッキに投入するとしたらどれくらいの枚数になるか」というのもできれば意識しておきたい。4枚投入するようなカードはそれだけ使用率が高いから、多くのシナジーを作ることの重要性が他のものより高い。
このような操作を「もういいだろう」というところまで繰り返す。最初はデッキの輪郭が曖昧な状態で、いろんなカードを置くことが出来る。視野を広く持つという意味で、置くカードの選定は抽象的な基準を用いたほうが良い。手札消費の激しい核ならば手札が増えるようなカードを候補に上げる。別にデッキから手札へ動かすカードでなくてもいい。核によってはシールドからでも、マナからでも良いこともあるだろう。そうしてカードを並べていくうちにデッキの具体的な形が明確になってくる。
終局に近づくにつれて、カードの選定はだんだん厳しいものになってくる。「これらと相性の良いカードをできるだけたくさん挙げればOK」から「これらと相性の良いカードを1つでも見つけられればOK」に移り変わる。「手札を増やすようなカード」程度の抽象的基準ならカード検索は有効だが、ここに至ってはそういう絞り込み方はうまくいかない。普段からどれだけのカードを暗記しているか、など、知識が問われる。「ほとんど誰も覚えていないようなカード」が正解であることも少なくない。「データベースと検索機能があるから暗記は必要ない。知識より知恵だ(キリッ」みたいな頭の悪いこと言ってるとこういうところでつまづく。これはカードゲームでなくても一緒。知恵は知識という土壌に根差します。
◇
概要はこんなところ。口で言う程簡単ではないし、必要なカードがそもそも存在しないなんてことは日常茶飯事だけど、「こんなカードがあったらいいな」というコメントを付してどこかに保存、新弾が出るたびに合致するカードがないか調べるという風にすればいつかは形になるはず。「新弾のカードをコンセプトにしてそれの要求するカードを集める」というのは誰でもやることだけど、「昔のカードをコンセプトにしたデッキの要求するカードが新弾に偶々あった」というパターンはなかなか気づきにくいもので、それだけ希少価値が生じやすい、というのもある。
「３年に一度は勝利の方程式を変えなさい」という本が出てたけど(未読)、この構築法は私の「勝利の方程式」そのもので、だからこそ、早く脱皮しなければならないのだろうと思った。抜け殻には違いないが、それが他の誰かの参考になれば私もそれなりに嬉しい。
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厳密解は捨てて近似解を求めることと相成った
n項重複の話は「固定した領域」が与えられたときの、「このカードはこの位置には埋め込めない」という条件を無視した上での議論である。だがこれだけでは実際の計算はできない。このカードはここには埋め込めない、という「禁制位置」についての考察が必要になる。
例えば「《青銅の鎧》→《腐敗勇騎トリプルマウス》→《ロスト・ソウル》」というパターンを考えよう。必要なブロックは5つ。「《青銅の鎧》を埋め込むブロック」「《腐敗勇騎トリプルマウス》を埋め込むブロック」「《ロスト・ソウル》を埋め込むブロック」「《青銅の鎧》に必要な緑マナを埋め込むブロック」「《腐敗勇騎トリプルマウス》に必要な黒マナを埋め込むブロック」がそれだ。相手の妨害を考えなければ《腐敗勇騎トリプルマウス》の緑マナは《青銅の鎧》の緑マナで確保されているし、《ロスト・ソウル》の黒マナは《腐敗勇騎トリプルマウス》の黒マナで確保されている。
後攻スタートとしても《青銅の鎧》を使う3ターン目までに引くカードの総枚数は8枚だから、その中に《青銅の鎧》と緑マナを埋め込めばよい——しかしMraiは《青銅の鎧》を使う3ターン目には埋め込めない。ここにまず問題がひとつ。
さらに4ターン目までに《腐敗勇騎トリプルマウス》と黒マナを埋め込むのだが、4ターン目までに引いたカードの総枚数は9枚だから、《青銅の鎧》と緑マナを埋め込むブロックにおける全領域μ=8より1枚分拡張されたμ=9が全領域となる。しかしこれはブロックの順番を間違えると——例えば《腐敗勇騎トリプルマウス》と黒マナを埋め込んでから《青銅の鎧》と緑マナを埋め込もうとすると、拡張された1枚分のところに《腐敗勇騎トリプルマウス》や黒マナがくるかどうかによって場合分けが必要になってしまい、非常に面倒なことになる。これがふたつめの問題。
ひとつめの問題は禁制位置がはじめから決まっている。これを「絶対禁制位置」と呼ぼう。ふたつめの問題は接続が確保する領域に差があるときに発生する場合分け。「Aには入らない場合」「Bには入らない場合」のように禁制位置の設定によって場合分けすることからこれを「相対禁制位置」と呼ぼう。
仰々しい名前をつけてはみたが、相手の妨害を考慮しなければ、絶対禁制位置は「あるカードの多色マナMraiはあるカードを使うターンには埋め込めない」というものしかない。(†1)
相対禁制位置もさしあたっては大した問題ではない。この場合は「《青銅の鎧》＆緑マナ」→「《腐敗勇騎トリプルマウス》＆黒マナ」→「《ロスト・ソウル》」のように領域の小さいほうから埋め込めば容易に解決する。
したがってこの章で述べることは多くない。禁制位置の問題が顕在化するのは相手の妨害を考えるとき。ゆえに本来は応用理論の話なのだ。しかし確率計算の実例を示すにあたっては一応の説明が必要なので、さらっと読み流しておいて欲しい。第二章の内容が理解できる方ならつまづくこともないだろう。
(†1)基礎理論では「相手の妨害」を扱わないとしたものの、将来的な展望を述べさせてもらえばこの問題は無視できない。例えば4ターン目に相手の《解体人形ジェニー》が使われることを考えるならば、あるパターンの成立確率においてこちらの目的カードが《解体人形ジェニー》以前に埋め込まれるとき、本来の成立確率に「相手が《解体人形ジェニー》を使ってこない(使わないのではなく使えない)確率」を掛けることが必要になり、こちらの目的のカードが《解体人形ジェニー》以後に埋め込まれるときはそのまま(《解体人形ジェニー》による影響はない)で、最終的に両者の和を取ることになる。ここで「こちらの目的のカード が《解体人形ジェニー》以後に埋め込まれる」場合は複数の接続の確保する領域どうしが包含関係のみによって構成されないパターンが発生する。これが相対禁制位置の複雑な場合である。
一段落ついたので手引きでも。
＜内容について＞
■内容は高校レベルの数学知識で十分です。しかし教科書を一通り押さえたレベルの数学力ではついていけないと思います。ある程度こういった問題の取り扱いに慣れた理系高校生ないし理系大学生向け。この「エンジン基礎理論」を理解するために新しく「集合論」「組合せ数え上げ論」の内容を勉強する、というような行為は正直お薦めできません。
■「高校レベルの数学知識」での表現となるため、エレガントな数式ではありません。あしからず。
■私自身、試行錯誤しながら執筆しています。ちょこちょこ内容を書き換えてますし(変更部分については特に何も書きません。改稿数だけ一番下に表示してます)、内容の正当性については保証しかねます。「こうなると思うんだけど、合ってる？」という感じで書いてます。間違いがあれば是非ご指摘願います。
■新しく「集合論」「組合せ数え上げ論」の内容を勉強することが勧められないのは直前の事情が理由です。間違っている内容は間違っていると判断できるレベルに達していないと、間違っている内容に対して「なんでこうなるのか分かんない」と悩む羽目になります。
第一章
概観です。ざっと読んでくだされば。
第二章
「エンジン基礎理論」の柱になる「ブロック」という概念について。おそらく最も重要な章。「n項重複」ではやたらと記号が増えますが、エッセンスは「二項重複」「三項重複」でほとんどすべて説明していますので、それが理解できれば読み飛ばしてもかまわないと思います。
第三章
執筆中。禁制位置についての内容を予定。
第四章
執筆中。ドローカードについての内容を予定。
＜不安な部分＞
■「重複分を除する係数」のくだりが不安、というか間違ってるはずなんだけど、うまく記述するにはどうすればいいのかしら。